纸上谈兵: 左倾堆 (leftist heap)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

大家 儿后来讲解了堆(heap)的概念。堆是有2个 优先队列。每次从堆中取出的元素时会堆中优先级最高的元素

在后来的文章中,大家 儿基于完整二叉树(complete binary tree)实现了堆,原先的堆叫做二叉堆(binary heap)。binary heap有有2个 基本要求: 每个节点的优先级大于有2个 子节点的优先级。在并是否要求下,堆的根节点始终是堆的元素中优先级最高的元素。此外,大家 儿实现了delete_min()操作,从堆中取出元素;insert()操作,向堆中插入元素。

现在,大家 儿考虑下面的难题: 怎样才能合并(merge)有2个 堆呢? 有2个 方案是从第有2个 堆中不断取出有2个 元素,并插入到第六个堆中。原先,大家 儿需要量级为n的操作。大家 儿下面要实现更有速率单位单位的合并。

左倾堆 (Leftist Heap)

左倾堆基于二叉树(binary tree)。左倾堆的节点满足堆的基本要求,即(要求1)每个节点的优先级大于子节点的优先级。与二叉堆不同,左倾堆并时会完整二叉树。二叉堆是非常平衡的树底部形态,它的每一层都被填满(除了最下面一层)。左倾堆则是维持并都有不平衡的底部形态: 它的左子树节点往往比右子树有更多的节点。

不平衡

左倾堆的每个节点有有2个 附加信息,即null path length (npl)。npl是从有2个 节点到有2个 最近的不满节点的路径长度(不满节点:有2个 子节点至少有有2个 为NULL)。有2个 叶节点的npl为0,有2个 NULL节点的npl为-1。

各个节点的npl (这里显示的时会元素值)

根据npl的定义,大家 儿有推论1: 有2个 节点的npl等于子节点npl中最小值加1: npl(node) = min(npl(lchild), npl(rchild)) + 1

有了npl的概念,大家 儿都不需要 完整的定义左倾堆。左倾堆是有2个 符合下面要求的二叉树:

  • 要求1: 每个节点的优先级大于子节点的优先级
  • 要求2: 对于任意节点的左右有2个 子节点,右子节点的npl不大于左子节点的npl

左倾堆的性质

从里边的要求1和2都不需要 知道,左倾堆的任意子树也是有2个 左倾堆

后来左倾堆的底部形态,左倾堆的右侧路径(right path)较短。右侧路径是指大家 儿从根节点后来刚开使,不断前往右子节点所构成的路径。对于有2个 左倾堆来说,右侧路径上节点数不大于任意一些路径上的节点数,后来,将违反左倾堆的要求2

大家 儿还都不需要 证明推论2,后来有2个 左倾堆的右侧路径上有r个节点,没人 该左倾堆将至少有2r-有2个 节点。大家 儿采用归纳法证明:

  • r = 1, 右侧路径上有有2个 节点,什么都至少有21-有2个 节点
  • 假设任意r, 左倾堆至少有2r-1节点。没人 对于有2个 右侧路径节点数为r+1的左倾堆来说,根节点的右子树的右侧路径有r个节点。根节点的左子树的右侧路径至少有r个节点。根据假设,该左倾堆将包括: 
    • 右子树:至少有2r-1个节点
    • 左子树: 至少有2r-1个节点
    • 有2个 根节点
  • 后来,对于r+1,整个左倾堆至少有2r+1-有2个 节点。证明完成

换句话说,有2个 n节点的的左倾堆,它的右侧路径最多有log(n+1)个节点。后来对右侧路径进行操作,其繁杂度将是log(n)量级。

大家 儿将沿着右侧路径进行左倾堆的合并操作。合并采用递归。合并如下:

  1. (base case) 后来有2个 空左倾堆与有2个 非空左倾堆合并,返回非空左倾堆
  2. 后来有2个 左倾堆都非空,没人 比较有2个 根节点。取较小的根节点为新的根节点(满足要求1),合并较小根节点堆的右子堆与较大根节点堆。
  3. 后来右子堆npl > 左子堆npl,互换右子堆与左子堆。
  4. 更新根节点的npl = 右子堆npl + 1

里边的合并算法调用了合并操作自身,什么都是递归。后来大家 儿沿着右侧路径递归,什么都繁杂度是log(n)量级。

左倾堆的实现

里边都不需要 看完,左倾堆都不需要 相对高效的实现合并(merge)操作。

一些的堆操作,比如insert, delete_min都都不需要 在merge基础上实现:

  • 插入(insert): 将有2个 单节点左倾堆(新增节点)与有2个 已有左倾堆合并
  • 删除(delete_min): 删除根节点,将剩余的左右子堆合并
/* By Vamei */

/* 
 * leftist heap
 * bassed on binary tree 
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;

struct node {
    ElementTP element;
    int npl;
    position lchild;
    position rchild;
};

typedef struct node *LHEAP;

LHEAP insert(ElementTP, LHEAP);
ElementTP find_min(LHEAP);
LHEAP delete_min(LHEAP);
LHEAP merge(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP merge1(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP swap_children(LHEAP);

int main(void)
{
    LHEAP h1=NULL;
    LHEAP h2=NULL;
    h1 = insert(7, h1);
    h1 = insert(3, h1);
    h1 = insert(5, h1);

    h2 = insert(2, h2);
    h2 = insert(4, h2);
    h2 = insert(8, h2);

    h1 = merge(h1, h2);
    printf("minimum: %d\n", find_min(h1));
    return 0;
}

/*
 * insert:
 * merge a single-node leftist heap with a leftist heap
 * */
LHEAP insert(ElementTP value, LHEAP h)
{
    LHEAP single;
    single = (position) malloc(sizeof(struct node));

    // initialze
    single->element  = value;
    single->lchild   = NULL;
    single->rchild   = NULL;

    return  merge(single, h);
}

/*
 * find_min:
 * return root value in the tree
 * */
ElementTP find_min(LHEAP h)
{
    if(h != NULL) return h->element;
    else exit(1);
}

/*
 * delete_min:
 * remove root, then merge two subheaps
 * */
LHEAP delete_min(LHEAP h)
{
    LHEAP l,r;
    l = h->lchild;
    r = h->rchild;
    free(h);
    return merge(l, r);
}

/*
 * merge two leftist heaps
 * */
LHEAP merge(LHEAP h1, LHEAP h2) 
{

    // if one heap is null, return the other
    if(h1 == NULL) return h2;
    if(h2 == NULL) return h1;

    // if both are not null
    if (h1->element < h2->element) { 
        return merge1(h1, h2);
    }
    else {
        return merge1(h2, h1);
    }
}

// h1->element < h2->element
static LHEAP merge1(LHEAP h1, LHEAP h2)
{
    if (h1->lchild == NULL) { 
        /* h1 is a single node, npl is 0 */
        h1->lchild = h2; 
    /* rchild is NULL, npl of h1 is still 0 */
    }
    else {
        // left is not NULL
    // merge h2 to right
    // swap if necessary
        h1->rchild = merge(h1->rchild, h2);
    if(h1->lchild->npl < h1->rchild->npl) {
        swap_children(h1);
    }
        h1->npl = h1->rchild->npl + 1; // update npl
    }
    return h1;
}

// swap: keep leftist property
static LHEAP swap_children(LHEAP h) 
{
    LHEAP tmp;
    tmp       = h->lchild;
    h->lchild = h->rchild;
    h->rchild = tmp;
}

总结

左倾堆利用不平衡的节点分布,让右侧路径保持比较短的情形,从而提高合并的速率单位单位。

在合并过程,通过左右互换,来恢复左倾堆的性质。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据底部形态”系列。